재귀

재귀의 개념

재귀란 무엇일까요? 표준국어대사전에서는 다음과 같이 정의하고 있습니다.

재귀(再歸) : 원래의 자리로 되돌아가거나 되돌아옴.

재귀의 시각적 예시를 든다면 계속해서 원래의 상태로 돌아오는 아래 이미지와 같을 것입니다.

 

[그림] 재귀의 이미지 예시

위 정의와 예시를 참고하여 재귀를 코드로 표현하면 다음과 같이 작성할 수 있을 것입니다.

function recursion () {
  console.log("This is")
  console.log("recursion!")
  recursion()
}

[코드] 재귀의 코드 예시

 

이 함수를 호출하면 어떻게 될까요?

[그림] recursion 함수의 호출 결과

 

recursion 함수를 호출했더니, 자기 자신을 끝없이 호출하면서 같은 코드가 계속해서 실행되는 것을 볼 수 있습니다. 이 recursion 함수처럼 자기 자신을 호출하는 함수를 재귀 함수라고 합니다. 재귀 함수를 잘 활용하면 반복적인 작업을 해야 하는 문제를 좀 더 간결한 코드로 풀어낼 수 있습니다.

 

재귀로 문제 해결하기

그러면 어떻게 하면 재귀를 활용해서 문제를 해결할 수 있는지 아래의 문제를 푸는 과정을 따라가 보면서 알아볼까요?

문제: 자연수로 이루어진 리스트(배열)를 입력받고, 리스트의 합을 리턴하는 함수 `arrSum` 을 작성하세요.

물론 재귀 없이 반복문으로 해결하는 방법도 있습니다. 하지만 이번 챕터는 재귀를 배우는 것이 목적이니, 차근차근 따라오며 재귀를 이해해 보세요. 우선 이론적으로 재귀로 문제를 해결하는 단계는 다음과 같습니다.

1. 문제를 좀 더 작게 쪼갭니다.

2. 1번과 같은 방식으로, 문제가 더는 작아지지 않을 때까지, 가장 작은 단위로 문제를 쪼갭니다.

3. 가장 작은 단위의 문제를 풂으로써 전체 문제를 해결합니다.

이 단계를 적용해서 arrSum 함수를 작성해 봅시다. 일단 배열 [1, 2, 3, 4, 5] 의 합을 구하는 과정을 재귀로 풀어봅시다.

 

1. 문제를 작게 쪼개기

어떻게 하면 arrSum 함수로 [1, 2, 3, 4, 5] 의 합을 구하는 과정을 더 작게 쪼갤 수 있을까요?

단순하게 생각해 보면, 배열의 합을 구할 때 [1, 2, 3, 4, 5] 의 합을 구하는 것보다 [2, 3, 4, 5] 의 합을 구하는 것이 더 작은 문제이고, 여기서 또 [2, 3, 4, 5]의 합을 구하는 것보다 [3, 4, 5] 의 합을 구하는 것이 더 작은 문제일 것입니다.

위 방식으로 문제를 쪼갠 것을 코드로 표현하면 다음과 같습니다.

arrSum([1, 2, 3, 4, 5]) === 1 + arrSum([2, 3, 4, 5])
arrSum([2, 3, 4, 5]) === 2 + arrSum([3, 4, 5])
...

2. 문제를 가장 작은 단위로 쪼개기

위에서 문제를 쪼갠 방식을 반복해서 문제를 계속해서 쪼개면 더 이상 쪼갤 수 없는 상태에 도달하게 됩니다.

...
arrSum([3, 4, 5]) === 3 + arrSum([4, 5])
arrSum([4, 5]) === 4 + arrSum([5])
arrSum([5]) === 5 + arrSum([])

마지막에는 arrSum 이 빈 배열을 받게 되면서 문제를 더 이상 쪼갤 수 없게 되었죠? 이로써 문제를 가장 작은 단위까지 쪼갰다고 할 수 있게 되었습니다.

 

3. 문제 해결하기

문제가 더 쪼개지지 않게 되면, 가장 작은 단위의 문제를 해결합니다. 문제를 쪼갤 때 같은 방식으로 쪼갰기 때문에, 가장 작은 단위의 문제를 해결한 방식으로 문제 전체를 해결할 수 있게 됩니다.

2번에서 도달한 가장 작은 문제는 arrSum([]) 이었습니다. 빈 배열의 합은 0이므로, 0을 리턴해주면 되겠죠? 이렇게 가장 작은 문제를 해결하는 순간, 아래 코드처럼 쪼개졌던 문제가 거꾸로 거슬러 올라가면서 합쳐지게 됩니다.

arrSum([]) === 0; // <-- 문제가 더는 작아지지 않는 순간
// 가장 작은 경우의 해결책을 적용합니다.
arrSum([5]) === 5 + arrSum([]) === 5 + 0 === 5;
arrSum([4, 5]) === 4 + arrSum([5]) === 4 + 5 === 9;
arrSum([3, 4, 5]) === 3 + arrSum([4, 5]) === 3 + 9 === 12;
arrSum([2, 3, 4, 5]) === 2 + arrSum([3, 4, 5]) === 2 + 12 === 14;
arrSum([1, 2, 3, 4, 5]) === 1 + arrSum([2, 3, 4, 5]) === 1 + 14 === 15;

arrSum 함수의 리턴 값이 나오면서 연쇄적으로 문제가 해결되고, 최종적으로는 문제 전체가 해결되는 것을 볼 수 있습니다.

 

위 단계를 반영해서 arrSum 함수를 완성해 보면 다음과 같습니다.

function arrSum (arr) {
  // 빈 배열을 받았을 때 0을 리턴하는 조건문
  //   --> 가장 작은 문제를 해결하는 코드 & 재귀를 멈추는 코드
  if (arr.length === 0) {
    return 0
  }

  // 배열의 첫 요소 + 나머지 요소가 담긴 배열을 받는 arrSum 함수
  //   --> 재귀(자기 자신을 호출)를 통해 문제를 작게 쪼개나가는 코드
	return arr.shift() + arrSum(arr)
}

arrSum 함수가 작동하는 방식을 시각적으로 확인해볼까요?

 

[그림] 재귀로 문제가 쪼개어지는 과정

arrSum 함수가 내부에서 arrSum 함수를 호출하면서 문제가 쪼개어져 나가고, 결국 문제를 더 이상 쪼갤 수 없는 arrSum([]) 까지 함수가 호출되는 것을 볼 수 있습니다.

[그림] 재귀로 문제가 해결되는 과정

arrSum([]) 는 조건문에 의해 더 이상 자기 자신을 호출하지 않고, 숫자 0을 리턴하면서 종료됩니다. 그 결과 중첩되어 있던 함수들도 연쇄적으로 숫자를 리턴하고, 최종적으로는 배열의 모든 요소의 합을 리턴하면서 문제가 해결됩니다.

여기까지 재귀 함수를 활용해 문제를 해결하는 과정을 살펴봤습니다. 아마도 낯설고, 어렵게 느껴지시겠지만, 그래도 재귀는 꼭 익혀두는 것이 좋습니다. 재귀를 사용함으로써 얻을 수 있는 이점이 있기 때문입니다.

 

재귀는 언제 사용하는 게 좋을까?

재귀는 다음과 같은 상황에서 매우 적합합니다.

1. 주어진 문제를 비슷한 구조의 더 작은 문제로 나눌 수 있는 경우 2. 중첩된 반복문이 많거나 반복문의 중첩 횟수(number of loops)를 예측하기 어려운 경우

for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
        for (let k = 0; k < n; k++) {
            for (let l = 0; l < n; l++) {
                for (let m = 0; m < n; m++) {
                    for (let n = 0; n < n; n++) {
                        for (let o = 0; o < n; o++) {
                            for (let p = 0; p < n; p++) {
                                // do something
                                someFunc(i, j, k, l, m, n, o, p);
                           }
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
 }

모든 재귀 함수는 반복문(while 문 또는 for 문)으로 표현할 수 있습니다. 그러나 재귀를 적용할 수 있는 대부분의 경우에는, 재귀를 적용한 코드가 더욱 간결하고 이해하기 쉽습니다.

이 밖에도, 재귀는 알고리즘 문제의 많은 부분을 차지합니다. 앞으로 만나게 될 다양한 과제와 기업의 입사 시험(코딩 테스트, 알고리즘 테스트 등)이나 직무면접에서 활용할 수 있기 때문에, 기초를 확실하게 다져두는 게 바람직합니다.

 

Guide : 재귀적으로 사고하기

1. 재귀 함수의 입력값과 출력값 정의하기

재귀적으로 사고하는 데에 가장 먼저 해야 할 일은 문제를 가장 추상적으로 또는, 가장 단순하게 정의하는 것입니다. 함수의 입출력 값을 정의하는 것은 그 첫 출발점이며, 재귀 함수를 통해 풀고자 하는 문제, 즉 도달하고자 하는 목표를 정의하는 데 도움이 됩니다.

함수 arrSum 의 경우 number 타입을 요소로 갖는 배열을 입력으로 받고, number 타입을 리턴합니다. 이를 좀 더 간단하게 표기하면 다음과 같습니다.

• arrSum: [number] => number ← 입출력 값 정의

2. 문제를 쪼개고 경우의 수를 나누기

다음으로는 주어진 문제를 어떻게 쪼갤 것인지 고민합니다. 문제를 쪼갤 기준을 정하고, 정한 기준에 따라 문제를 더 큰 경우와 작은 경우로 구분할 수 있는지 확인합니다. 일반적으로, 입력값을 이 기준으로 정합니다. 이때 중요한 관점은 입력값이나 문제의 순서와 크기입니다. 주어진 입력값 또는 문제 상황을 크기로 구분할 수 있거나, 순서를 명확하게 정할 수 있다면 문제를 구분하는 데 도움이 됩니다. 그리고 구분된 문제를 푸는 방식이 순서나 크기와 관계없이 모두 같다면, 문제를 제대로 구분한 것입니다.

• 함수 arrSum 의 경우 입력값인 배열의 크기에 따라, 더 작은 문제로 나눌 수 있습니다. 그리고 arrSum([1, 2, 3, 4]) 를 구하는 방법과 arrSum([2, 3, 4]) 을 구하는 방법은 동일하므로, 이 구분은 적절하다고 판단할 수 있습니다.

이제 문제에서 주어진 입력값에 따라, 경우의 수를 나눕니다. 일반적으로 문제를 더 이상 쪼갤 수 없는 경우와 그렇지 않은 경우로 나눕니다.

• 함수 arrSum은 입력값이 빈 배열인 경우와 그렇지 않은 경우로 나눌 수 있습니다. 각각의 경우는 다른 방식으로 처리해야 합니다.
  • arrSum: [number] => number
  • arrSum([ ]) ← 입력값이 빈 배열인 경우
  • arrSum([요소1, 요소2, ... , 요소n]) ← 그렇지 않은 경우

3. 단순한 문제 해결하기

문제를 여러 경우로 구분한 다음에는, 가장 해결하기 쉬운 문제부터 해결합니다. 이를 재귀의 기초(base case)라고 부릅니다. 재귀의 기초는 나중에 재귀 함수를 구현할 때, 재귀의 탈출 조건(재귀 호출이 멈추는 조건)을 구성합니다.

탈출 조건이 없는 경우 재귀 함수는 끝없이 자기 자신을 호출하게 됩니다. 그렇다고 문제를 덜 쪼갠 상태에서 탈출 조건을 세우는 경우 문제를 제대로 해결할 수 없게 됩니다. 그만큼 문제를 최대한 작게 쪼갠 후에 문제를 해결하는 것이 중요합니다.

• 함수 arrSum 을 더 이상 쪼갤 수 없는 경우는 입력값이 빈 배열일 경우이고, 이때 arrSum([]) 의 리턴값은 0입니다.
  • arrSum: [number] => number
  • arrSum([ ]) === 0 ← 입력값이 빈 배열인 경우 : 해결!
  • arrSum([요소1, 요소2, ... , 요소n])

 

//

1기저 조건(base case) 정의하기
재귀 함수는 기저 조건(base case)에 도달할 때까지 자기 자신을 반복적으로 호출합니다. 따라서 재귀 함수를 작성할 때 가장 먼저 해야 할 일은 기저 조건을 정의하는 것입니다. 기저 조건이란 함수가 더 이상 호출되지 않고 값을 반환해야 하는 조건으로, 이를 정의하지 않으면 함수가 무한히 호출될 수 있습니다.
예를 들어, arrSum 함수의 경우 배열의 요소들을 모두 더한 값을 반환해야 합니다. 이때, 배열의 길이가 0이거나 1일 경우에는 더 이상 더할 요소가 없으므로 그대로 값을 반환하면 됩니다. 이를 기저 조건으로 정의할 수 있습니다.

arrSum: [number] => number

arr.length === 0 이면 0을 반환
arr.length === 1 이면 arr[0]을 반환 ← 기저 조건 정의

 

2문제를 더 작은 부분 문제로 분해하기
재귀 함수를 사용하여 문제를 해결할 때는 주어진 문제를 더 작은 부분 문제로 분해하는 것이 핵심입니다. 이때, 문제를 분해하는 방법은 각 문제의 특성에 따라 다르며, 효과적인 분해 방법을 찾는 것이 중요합니다.
arrSum 함수의 경우, 배열의 첫 번째 요소를 더하고 나머지 요소들의 합을 재귀적으로 계산하여 더하는 방식으로 문제를 더 작은 부분 문제로 분해할 수 있습니다.

arrSum: [number] => number

arr.length === 0 이면 0을 반환
arr.length === 1 이면 arr[0]을 반환
arr[0]을 arrSum([1...n])에 더한 값 반환 ← 분해된 부분 문제들을 해결하여 원 문제 해결

 

3.재귀 함수 호출하기
문제를 더 작은 부분 문제로 분해한 후에는, 각 부분 문제를 재귀 함수로 호출하여 문제를 해결합니다. 이때, 호출할 함수의 입력 값은 분해된 부분 문제에 해당하는 값이어야 합니다.
arrSum 함수에서 첫 번째 요소를 더하고 나머지 요소들의 합을 재귀적으로 계산하기 위해서는 arrSum 함수를 자기 자신을 호출해야 합니다. 이때, 호출할 함수의 입력 값으로는 배열의 첫 번째 요소를 제외한 나머지 요소들을 전달해야 합니다.

arrSum: [number] => number

arr.length === 0 이면 0을 반환
arr.length === 1 이면 arr[0]을 반환

4. 복잡한 문제 해결하기

남아있는 복잡한 경우를 해결합니다.

• 길이가 1 이상인 배열이 함수 arrSum에 입력된 경우, 입력된 배열을 배열의 첫 요소와 나머지 요소를 입력값으로 갖는 문제로 쪼개고, 둘을 더합니다.
• arrSum: [number] => number
• arrSum([ ]) === 0
• arrSum([요소1, 요소2, ... , 요소n]) === 요소1 + arrSum([요소2, ..., 요소n]) ← 그렇지 않은 경우 : 해결!
• 배열을 첫 요소와 더 작은 문제로 쪼개는 방법만 안다면, 함수 arrSum 을 재귀적으로 구현할 수 있습니다.

5. 코드 구현하기

function arrSum(arr) {
  // base case : 문제를 더 이상 쪼갤 수 없는 경우 (재귀의 기초)
  if (arr의 길이가 0인 경우) {
    return 0;
  }

  // recursive case : 그렇지 않은 경우
  return 요소1 + arrSum([요소2, ... , 요소n]);
}

아래는 일반적인 재귀 함수의 템플릿입니다. 재귀 함수 연습에 활용하세요.

function recursive(input1, input2, ...) {
  // base case : 문제를 더 이상 쪼갤 수 없는 경우
  if (문제를 더 이상 쪼갤 수 없을 경우) {
    return 단순한 문제의 해답;
  }

  // recursive case : 그렇지 않은 경우
  return 더 작은 문제로 새롭게 정의된 문제
}

 

문제 : 자연수를 입력받고, 입력받은 수부터 1까지의 자연수를 모두 곱한 값을 리턴하는 재귀 함수 `fac` 을 작성하세요.
  예1) fac(5)  ===  5 * 4 * 3 * 2 * 1  ===  120
  예2) fac(3)  ===  3 * 2 * 1  ===  6

fac(4) //24
return 4 x fac(3)

.

.

.

fac(1)

return 1

 

function fac(n) {

  if (n===1){

    return 1;

  }

  return n * fac(n-1);

}